황금분할(黃金分割 : Golden Section, 황금비)
선분을 한 점에 의하여 2개의 부분으로 나누어,
그 한쪽의 제곱을, 나머지와 전체와의 곱과 같아지게 하는 일.
하나의 선분 AB가 있을 때, 그 선분상에 한 점 P를 구하여
(AP)·(AP) = (BP)·(AB) 가 되도록 하는 일이다.
" (BP) : (AP) ＝ 1:0.61803… " 을 황금비(黃金比) 또는 외중비(外中比)라 한다.
황금비는 고대 그리스에서 발견되었고,
가장 조화가 잡힌 비(比)로서 이와 같이 이름하게 된 것인데,
르네상스의 볼로냐의 수도승(修道僧) 루카 바티리오에 의하여
‘신성비례(神聖比例)’라고 이름할 정도로 중요시되었다.
특히 시각(視覺)에 호소하는 도형이나 입체 등에서는 이 비를 많이 이용해 왔으며,
예를 들면 직사 각형의 두 변의 비가 황금분할이 되는 것은
여러 가지 비례의 직사각형 중에서 가장 정돈된 직사각형이라 하였다.
건축·조각·회화·공예(工藝) 등, 조형예술의 분야에서는
다양한 통일의 하나의 원리로서 널리 활용되고 있다.
또, 자연의 조화가 잡힌 형태 중, 예를 들면 잎맥[葉脈], 종자의 형상,
조개껍데기 소용돌이, 세 포의 성장 등에서 이 비를 찾아내려고 하는 사람도 있다.
근년에는 음악 영역에서도 이것을 작곡에 활용한 예가 있다.
황금비는 일상 생활 속에서도 쉽게 찾을 수 있다.
예를 들면 엽서, 담배갑이나 명함의 치수 등도 두 변의 비가 황금비에 가깝다.
물건을 선택할 때 대부분의 사람은 무의식 중에 황금비의 치수를 취하고 있다.
피보나치의 수열에서 5를 A라 하고 8을 B라 하자.
5/8은 0.6에 가깝고 또 8/ 13(=5+8)도 역시 0.6이 된다.
반대로 8을 5로, 13을 8로 나누면 1.6이 된다.
등식의 형태로 나타내면 A:B=B:(A+B)가 되며
이것이 바로 황금분할 또는 황금비율의 등식이며
일반적으로 황금비율을 말할 때는 0.618 또는 1.618을 의미한다.
어떤 주어진 선이 있다고 하자.
이 직선 상에서 A:B=B:(A+B)의 등식이 충족되게 나눌 수 있는 점은 오직 한 점이며
이 점을 황금분할의 점(전체의 61.8%에 해당하는 점)이라 한다.(그림1 참조)
그러므로 황금분할이라 함은 전체 속에서 두 개의 크기가 다른 부분 사이의
독특한 상호관계이며 황금분할이란 용어는 이 비율관계의 절묘함에서 나온 말이다.
인간의 시각에서 볼 때 파이(Ø, 1.618)의 비율을 응용하여 만든 물건, 건축물 등은
다른 비율을 사용해 만든 것에 비해 가장 안정적으로 느껴진다.
꽃의 꽃잎 속에서도 파이의 비율을 발견할 수 있으며
우리가 느끼는 아름다운 화음에서도 이 비율이 적용된다고 한다.
심지어 우리가 일반적으로 볼 때 아름답다고 느껴지는 몸매를 가진 팔등신의 여인들도
확인해 보면 그들의 몸 전체에서 배꼽의 위치가 발바닥에서부터
정확히 몸 전체의 61.8%에 해당된다.
더불어 주식시장에서도 황금분할의 법칙에 의해 행동하는 인간의 행태가 나타난다.
파이가 인간에게 호감과 조화감을 준다는 사실은 고대부터 인정된 사실이었으며
지난 세기말 이래로 많은 과학적 실험으로도 증명되어 왔다.
그렇다면 왜 파이가 인간에게 호감과 조화감을 줄까?
그 이유는 아직 과학적으로 정확히 설명이 안되고 있다.
일부 사람들은 이런 숨겨진 현상을 자연적인 우연이라고 믿고 싶을 수도 있을 것이다.
그러나 이러한 우연이 규칙성을 갖고 반복한다면 그 우연은 평범한 우연이 아닐 것이다.
분명히 파이는 인간의 심리에 영향을 미치는 보이지 않는 질서가 있다.
이러한 인식은 ‘모든 것의 근원은 수’라고 생각했던 고대 피타고라스 학파의 사람들에게는
경이적인 당연한 사실로 받아들여졌으며 파이(61.8%) 안에서 우주질서의 비밀을 느꼈다.
그들은 파이를 단순한 숫자로 생각하기 보다는 신성한 하나의 상징으로 인식했고
파이로 말미암아 숫자의 신비스러움에 대한 그들의 신뢰를 높여 주었다.
그러기에 그들은 황금분할의 비율이 내재된 오각형 별(그림 2)을
피타고라스 학파의 상징으로 삼고 자신의 특성을 보존하면서 전체의 더 큰 형태에 융화되는
황금분할의 특징처럼 구성원들이 모든 사치를 금하고 검소한 생활을 하며
사회적으로 의료시술 등의 봉사활동을 하는 등 전체사회 구성원으로서
자신의 위치를 조화시켜 나갔다.
황금분할의 구도가 내재된 직사각형
황금분할이 나타내는 현상과 그 의미하는 것을 이해하려면
황금분할 구도가 내재된 직사각형을 이해하여야 한다.
황금분할의 구도가 내재된 직사각형은 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다.
첫째 그림3과 같이 길이가 각각 2단위의 정사각형 ABCD를 작성한 후
밑변 CD의 중간지점을 E라고 정하고 BE를 이으면
밑변 1, 높이 2인 직각삼각형 BCE가 형성된다.
삼각형 BCE의 빗변 BE의 길이는 ‘빗변의 곱은 다른 두변의 각각의 제곱의 합과 일치한다’는
피타고라스의 정리에 의해 √ 5 단위의 길이를 갖게 된다.
다음 단계는 그림3 같이 EG의 길이가 삼각형의 빗변 BE의 길이 √ 5 와 같도록 연장한다.
모두 완성이 되면 (그림 3)에서는 다음과 같은 황금분할의 관계가 형성된다.
DG=√ 5 +1 CG= √ 5 - 1 FG=2 FG=2 DG/FG = (√ 5 +1)/2 CG/FG = (√ 5 -1)/2
= (2.236+1)/2 = (2.236-1)/2 = 3.236/2 = 1.236/2 = 1.618 = 0.618
위 두 식의 답은 모두 황금분할의 수 파이(Ø) 1.618과 0.618임을 알 수 있으며
직사각형 ADGF를 ‘황금직사각형(Golden Rectangle)’이라 말하며
직사각형 BCGF도 역시 ‘황금직사각형’이다.
한 변의 길이가 1인 정5각형 abcde에서
△ ACD ∽ △ CDF∠ ADC = ∠ ADB + ∠ BDC = ∠ ADB + ∠ BEC
= ∠ CAF + ∠ CAF = ∠ CFD또 ∠ ACD = ∠ ADC 따라서
선분AC : 선분CD = 선분CD : 선분FD x : 1 = 1 : (x - 1)
∴ x = (1 + root{5})/2 (황금비)
건축에 사용된 황금비
1. 파르테논 신전
B.C 497년에 침공한 페르시아에 의해 아테네 전 시가지는 물론 아크로폴리스에 있던
모든 건물들이 파괴되어 버렸고, 파르테논은 B.C 447년에 건축하기 시작하여
B.C 438년까지 계속되었는 데 이 때부터 신전으로 쓰기 시작한 것이다.
파르테논신전이 그토록 아름답게 보이는 것은 아름다운 대리석의 장식과 수학이
잘 어울려 조화를 이루는 데 있다.
즉, 신전 각 부분이 정확하게 기하학적인 비율로 되어 있다는 점이다.
기둥머리 부분의 길이를 a, 기둥 아래의 지름을 b, 기둥과 기둥의 중심간격을 c,
기둥 높이를 d, 신전의 정면 폭을 e, 신전의 옆면 길이를 f라 하면 다음과 같은 관계가 있다.
b=√5ac=√5b=√5√5a=√5a
d=√5c=√5√5√5a=5√5ae=√5d=√5√5√5√5a=52af=√5e=√5√5√5√5√5a=52√5a
즉, 신전 각 부분의 길이는 √5와 관련이 있는 것이다.
2. 피라미드
고대 이집트인들은 등간격으로 매듭이 있는 줄을 가지고
길이의 비가 3 : 4 : 5인 직각 삼각형을 만들었고,
이를 피라미드와 신전등의 각종 건축물에 사용했다고 한다.
여기서 길이의 비가 3 : 4 : 5인 직각삼각형의 최단선분과 최장선분의 비는
3 : 5로 황금비에 가깝다는 사실을 알 수 있다.
실제로 오른쪽 그림에서 보듯이 밑면이 정사각형의 각변으로부터
중심에 이르는 거리(OM)와 능선(PM)의 길이의 비가1:1.616으로 황금비에 가깝다.
미술에 사용된 황금비
기타
황금비례
황금비와 피보나치 수열
황금분할 ( 黃金分割 : Golden Section )
황금비, 뫼비우스띠-그것이 알고싶나뇨?
1:1.6의 비율을 황금비또는 황금분할이라 그러죠.
황금비는 우리의 인류에서 가장 아름다운 비율이라 그래서 붙여졌답니다.
황금비는 구체적으로 정해진게 아닙니다대부분 루트2와 루트 3사이를 말해요
즉 1대 루트2 ~ 1대 루트3 을 말합니다정해진게 아니에요.
한 개의 선을 a와 b로 분할(a>b)할 때,
b:a=a:(a+b)가 되도록 하는 것으로, b=1이라고 한다면 a는 약 1.618이 되는데
이것이 1:1.618즉 황금분할입니다.
A4는 사각형의 한 변을 1로 할 때, 긴 변의 길이가 √2, √3, √4등의 무리수로 되는 것으로
이것은 루트비례입니다.
그래서 A4의 크기는 210×297mm입니다.
황금비의 예로 쓰인 물건들
밀레의 이삭줍기
앵무조개의 황금나선
비너스상
프랑스 개선문
두 팔을 벌리고 있는 남자의 그림(레오나르도 다 빈치의 '비트루비우스적 인간')
신용카드
1. 파르테논신전
2. 피라미드
3. 사진에서 필름 인화지의 가로, 세로 비율
4. 명함의 가로, 세로 비율
5. 담배갑의 가로, 세로 비율
6. 만달라
7. 바이올린의 몸체와 목간의 비율
8. 우리나라 불상
9. TV 화면의 가로, 세로의 비율
10. 몬드리안의 화면분할
11. 액자의 가로, 세로 비율
12. 창문의 가로, 세로 비율
13. 책의 가로, 세로 비율
14. 십자가의 가로, 세로 비율
(출처 : 블로그 > 스위스 쮜리히대학원 친절맨 )